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LE DISEQUAZIONI

DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO

Spaventato per il compito in classe di matematica sulle disequazioni di primo grado? Non temere: capirle è più semplice di quel che puoi immaginare. 

DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO INTERE

Considero due polinomi A(x) e B(x), entrambi di primo grado in x.
Le seguenti espressioni: sono dette disequazioni.
Per quanto riguarda i termini utilizzati: primo membro, secondo membro, incognita, grado, ecc, essi hanno lo stesso significato che presentano nel caso delle equazioni: x è l’incognita; primo membro è tutto ciò che si trova a sinistra del simbolo della disuguaglianza; secondo membro è ciò che si trova a destra; grado della disequazione è il più alto esponente con cui compare l’incognita.

Altrettanto si può dire delle proprietà (sommando/sottraendo la stessa quantità ai due membri…, moltiplicando/dividendo per un numero diverso da zero entrambi i membri…il risultato non cambia).

Sulla moltiplicazione/divisione per un numero diverso da zero si dovrà fare una distinzione rispetto a quanto vale per le equazioni. Si vedrà nel seguito, quando si descriverà il metodo per risolvere una disequazione.
Intanto notiamo che una distinzione che occorre tenere presente, riguarda il concetto di soluzione: infatti, mentre nel caso di un’ equazione di primo grado la soluzione (se esiste) è unica, nel caso di una disequazione la soluzione è, alternativamente:
– un insieme di valori reali (un intervallo o l’unione di intervalli, quindi infiniti valori)
– l’insieme vuoto, quindi nessuna soluzione.
(In casi particolari, anche per le disequazioni è possibile che ci sia un solo valore di x che soddisfi la disequazione).

 Svolgimento delle disequazioni di primo grado intere 

Lo svolgimento, ossia la ricerca delle soluzioni di una disequazione di primo grado si sviluppa con le stesse modalità con cui si affronta un’equazione di primo grado: attraverso l’applicazione consapevole delle proprietà accennate sopra si trasportano tutti i termini contenenti la x a primo membro e quelli privi della x a secondo membro.
Bisogna tenere presente una condizione importante: nel caso in cui a primo membro il coefficiente della x sia negativo occorre:

  • Moltiplicare per –1 sia il primo che il secondo membro
  • Cambiare il verso della disuguaglianza, così che > diventi < (e viceversa) e diventi (e viceversa).

In generale, vale la seguente regola:
ogni volta che, in una disequazione, si moltiplicano/dividono ambo i membri per un numero negativo si deve cambiare il verso della disuguaglianza. La moltiplicazione/divisione per un numero positivo non ha, invece, nessuna controindicazione.

È utile, al termine dei calcoli, eseguire un piccolo grafico ove possa determinarsi il campo dei valori che verificano la disuguaglianza.
Nel grafico, per convenzione, utilizziamo linee continue per indicare l’intervallo in cui la disequazione è soddisfatta, linee tratteggiate per indicare l’intervallo dove la disequazione non è soddisfatta.

La soluzione si può rappresentare come segue:


Vediamo ora un esempio in cui l’insieme delle soluzioni è vuoto (ovvero, non esistono valori di x che soddisfano la disequazione data):

Quello che segue è, invece, un caso “complementare” al precedente, in cui l’insieme delle soluzioni coincide con l’insieme dei numeri reali, ovvero qualsiasi valore di x soddisfa la disequazione: