Equazioni

Un’equazione è una uguaglianza matematica tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette incognite. L’uso del termine risale a Leonardo Fibonacci.Dominio

Dominio

Il dominio (o insieme di definizione) delle variabili incognite è l’insieme degli elementi per cui le espressioni ad ambo i membri dell’equazione sono definite, ovvero quell’insieme di numeri per cui l’equazione esiste. L’insieme delle soluzioni è condizionato dal dominio: per esempio l’equazione

non ammette soluzioni se il dominio è l’insieme dei numeri razionali, mentre ammette due soluzioni nei numeri reali, che possono essere scritte come .

non possiede soluzioni reali ma è risolvibile se il dominio è il campo dei numeri complessi.

Principi di equivalenza

Due equazioni si dicono equivalenti se i rispettivi insiemi delle soluzioni coincidono. Vi sono due principi che consentono di manipolare le equazioni per trovare l’insieme delle soluzioni; essi sono una conseguenza diretta delle proprietà delle uguaglianze:

Primo principio di equivalenza: data un’equazione, aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri uno stesso numero o una stessa espressione contenente l’incognita si ottiene un’equazione equivalente, a patto che, nel caso di aggiunta di un’espressione dipendente da un’incognita, non vengano ristrette le condizioni di esistenza.
Esempio:

Secondo principio di equivalenza: data un’equazione, moltiplicando o dividendo ambo i membri per un numero diverso da zero, o per un’espressione contenente l’incognita che non si annulli qualunque sia il valore dell’incognita stessa, e che non restringa le condizioni di esistenza, si ottiene un’equazione equivalente.
Esempio:

Equazioni algebriche

Le equazioni algebriche possono essere divise in vari gruppi in base alle loro caratteristiche; è necessario ricordare che un’equazione deve appartenere ad almeno e solo una delle categorie per ogni gruppo.

In base al grado del polinomio:

• equazioni di 1º grado o equazioni lineari;
• equazioni di 2º grado o equazioni quadratiche;
• equazioni di 3º grado o equazioni cubiche;
• equazioni di 4º grado o equazioni quartiche;
• equazioni di 5º grado o equazioni quintiche;
• e così via.

Possono inoltre essere divise in base alla presenza di incognite al radicando di radici:

• equazioni non irrazionali;
• equazioni irrazionali, contenenti radici con incognite al radicando, si classificano in base all’indice della radice:
  • indice pari;
  • indice dispari.

Equazioni omogenee

Si definisce equazione omogenea, un’equazione algebrica in più variabili i cui termini hanno tutti lo stesso grado. Un’equazione omogenea ammette sempre la soluzione banale con tutte le variabili uguali a e, su un campo algebricamente chiuso, ammette sempre infinite soluzioni, infatti da ogni soluzione se ne ottengono infinite altre alterandole per un fattore di proporzionalità.

Equazioni trascendenti

Le equazioni trascendenti coinvolgono almeno un’incognita come argomento di una funzione non polinomiale. Le più comuni categorie di equazioni trascendenti sono:

• equazioni trigonometriche, in cui almeno un’incognita è presente come argomento di funzioni trigonometriche;
• equazioni esponenziali, in cui almeno un’incognita è presente come argomento di funzioni esponenziali;
• equazioni logaritmiche, in cui almeno un’incognita è presente come argomento di logaritmi.

Equazioni con valori assoluti

Le equazioni con valori assoluti contemplano oltre le incognite la presenza del valore assoluto di espressioni algebriche o trascendenti. Possiamo aver quindi:

• equazioni algebriche con uno o più valori assoluti;
• equazioni trascendenti con uno o più valori assoluti.

Equazioni funzionali

Le equazioni funzionali hanno almeno un’incognita che è una funzione. Le più comuni categorie di equazioni funzionali sono:

• equazioni differenziali, se contengono derivate della funzione incognita;
• equazioni integrali, se contengono integrali della funzione incognita.

In base alle espressioni letterali

In base alla presenza di altre espressioni letterali tutte le equazioni possono essere divise in:

• equazioni numeriche, contengono solo espressioni numeriche e l’incognita;
• equazioni parametriche, in cui le incognite sono funzioni espresse in funzione di uno o più parametri.