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Equazioni

Un’equazione è una uguaglianza matematica tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette incognite. L’uso del termine risale a Leonardo Fibonacci.Dominio

Dominio

Il dominio (o insieme di definizione) delle variabili incognite è l’insieme degli elementi per cui le espressioni ad ambo i membri dell’equazione sono definite, ovvero quell’insieme di numeri per cui l’equazione esiste. L’insieme delle soluzioni è condizionato dal dominio: per esempio l’equazione

x^{2}-2=0
\pm {\sqrt  {2}}

non ammette soluzioni se il dominio è l’insieme dei numeri razionali, mentre ammette due soluzioni nei numeri reali, che possono essere scritte come .

x^{2}+1=0

non possiede soluzioni reali ma è risolvibile se il dominio è il campo dei numeri complessi.

Principi di equivalenza

Due equazioni si dicono equivalenti se i rispettivi insiemi delle soluzioni coincidono. Vi sono due principi che consentono di manipolare le equazioni per trovare l’insieme delle soluzioni; essi sono una conseguenza diretta delle proprietà delle uguaglianze:

Primo principio di equivalenza: data un’equazione, aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri uno stesso numero o una stessa espressione contenente l’incognita si ottiene un’equazione equivalente, a patto che, nel caso di aggiunta di un’espressione dipendente da un’incognita, non vengano ristrette le condizioni di esistenza.
Esempio:

4x+13=28\;;
4x+13\underline {+2}=28\underline {+2}\;;
4x+15=30\;

Secondo principio di equivalenza: data un’equazione, moltiplicando o dividendo ambo i membri per un numero diverso da zero, o per un’espressione contenente l’incognita che non si annulli qualunque sia il valore dell’incognita stessa, e che non restringa le condizioni di esistenza, si ottiene un’equazione equivalente.
Esempio:

25x^{{2}}-10x+1=5x-1\;;
(5x-1)^{{2}}=5x-1\;;
{\frac  {(5x-1)^{{2}}}{5x-1}}={\frac  {5x-1}{5x-1}}\;;
5x-1=1\;

Equazioni algebriche

Le equazioni algebriche possono essere divise in vari gruppi in base alle loro caratteristiche; è necessario ricordare che un’equazione deve appartenere ad almeno e solo una delle categorie per ogni gruppo.

In base al grado del polinomio:

  • equazioni di 1º grado o equazioni lineari;
  • equazioni di 2º grado o equazioni quadratiche;
  • equazioni di 3º grado o equazioni cubiche;
  • equazioni di 4º grado o equazioni quartiche;
  • equazioni di 5º grado o equazioni quintiche;
  • e così via.

Possono inoltre essere divise in base alla presenza di incognite al radicando di radici:

  • equazioni non irrazionali;
  • equazioni irrazionali, contenenti radici con incognite al radicando, si classificano in base all’indice della radice:
    • indice pari;
    • indice dispari.

Equazioni omogenee

Si definisce equazione omogenea, un’equazione algebrica in più variabili i cui termini hanno tutti lo stesso grado. Un’equazione omogenea ammette sempre la soluzione banale con tutte le variabili uguali a e, su un campo algebricamente chiuso, ammette sempre infinite soluzioni, infatti da ogni soluzione se ne ottengono infinite altre alterandole per un fattore di proporzionalità.

x^{2}-5xy+6y^{2}=(x-3y)(x-2y)=0,
x=2k
y=k
x=3h
y=3
x^{2}+y^{2}=0
x=0
y=0

Equazioni trascendenti

Le equazioni trascendenti coinvolgono almeno un’incognita come argomento di una funzione non polinomiale. Le più comuni categorie di equazioni trascendenti sono:

  • equazioni trigonometriche, in cui almeno un’incognita è presente come argomento di funzioni trigonometriche;
  • equazioni esponenziali, in cui almeno un’incognita è presente come argomento di funzioni esponenziali;
  • equazioni logaritmiche, in cui almeno un’incognita è presente come argomento di logaritmi.

Equazioni con valori assoluti

Le equazioni con valori assoluti contemplano oltre le incognite la presenza del valore assoluto di espressioni algebriche o trascendenti. Possiamo aver quindi:

  • equazioni algebriche con uno o più valori assoluti;
  • equazioni trascendenti con uno o più valori assoluti.

Equazioni funzionali

Le equazioni funzionali hanno almeno un’incognita che è una funzione. Le più comuni categorie di equazioni funzionali sono:

  • equazioni differenziali, se contengono derivate della funzione incognita;
  • equazioni integrali, se contengono integrali della funzione incognita.

In base alle espressioni letterali

In base alla presenza di altre espressioni letterali tutte le equazioni possono essere divise in:

  • equazioni numeriche, contengono solo espressioni numeriche e l’incognita;
  • equazioni parametriche, in cui le incognite sono funzioni espresse in funzione di uno o più parametri.